Question

1+2*2+3*3+4*4+5*5+......+n*n=?????????? 数列求和 n的n次方 怎么做？ 给出主要解题知识和关键步骤.

用高中知识的话不行，本人试过，现在还没解出来，会产生出推导无限循环，已经证明。用高等数学来解的话能解出来。
希望哪位达人能解出，最好是用高中数学知识，谢谢了！
上边我发现题目错了，修改为：1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+......+n^n=? 数列求和 n的n次方 怎么做？

Answer 1

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
法2数学归纳法
法3：01+2*1+3*2+4*3+5*4+......+n*（n-1）
n*（n-1）=1/3（n*（n-1）（n-2）-n*（n-1）（n+1））
然后消项，再加上等差数列

Answer 2

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中间步，将右边第一项移到左边得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
两边分别相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

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追问

辛苦你了，实在是不好意思，题目错了，不是2次方，是n的
1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+......+n^n=? 数列求和 n的n次方 怎么做？

Answer 3

1=1
2*2=1+3
3*3=1+3+5
4*4=1+3+5+7
5*5=1+3+5+7+9
......
1+2*2+3*3+4*4+5*5+......+n*n=n+3(n-1)+5(n-2)+7(n-3)+......+(2n-1)1
二阶等差数列 高中数学应该可以解了吧。

追问

呵呵，是n的n次方喔！ 2的2次方 3的3次方。4的4次方........n的n次方。不好意思，题目出错了。2楼的好像是正解，正在研究中