Question

对于函数f(x)(x属于D),若存在x1,x2属于D,对任意的x属于D,都有f(x1)<=f(x)<=f(x2),

则称f(x)为幅度函数，其中f(x2)-f(x1)称为f(x)在D上的幅度。
（1）判断函数f(x)=根号（3-2x-x^2）是否为“幅度函数”，如果是，写出其幅度
（2）已知x(y-1)-2^(n-1)*y+2^n=0(x为整数，n为正整数），记y关于x的函数的幅度为bn,求数列｛bn}的前n项和Sn
（3）在（2）的条件下，试比较lg[2/b(n+1)]+lg[2/b(n+2)]+……+lg[2/(b2n)](n为下标）与n^2lg(1/2)的大小，并说明理由

Answer 1

解：(1)易得定义域为-3<=x<=1。
求导：f'(x)=-(x+1)/√(3-2x-x^2)，其中-3<=x<=1，
令f'(x)<0解得-1<x<=1，令f'(x)>0解得-3<=x<-1
所以f(x)在[-3,-1)单调递增，在[-1,1]单调递减，又f(-3)=f(1)=0，
所以f(x)max=f(-1)=4，f(x)min=0
则存在x1=-3或1，x2=-1，对任意-3<=x<=1，使得f(x1)<=f(x)<=f(x2)成立，
故f(x)为幅度函数，且幅度等于4-0=4。
(2)当x=2^(n-1)时，带入原等式中可知原等式不成立，所以将原等式变形为：
y=1-[2^(n-1)]/[x-2^(n-1)]，x为整数且x≠2^(n-1)，n为正整数。
记y=g(x)=1-[2^(n-1)]/[x-2^(n-1)]，x为实数且x≠2^(n-1)，n为正整数。
求导：g'(x)=[2^(n-1)]/[x-2^(n-1)]^2，显然g'(x)>0
所以g(x)在(-∞,2^(n-1))为增函数且函数值大于1，在(2^(n-1),+∞)也为增函数且函数值小于1。
说明g(x)在x=2^(n-1)附近取得最大值和最小值，(其实这个函数就是反比例函数经过
简单的初等变换得来的，其图像您应该也想得到。)
考虑到原等式中x为整数，所以根据单调性，可判定原等式在x=2^(n-1)-1时取得最大值，在x=2^(n-1)+1时取得最小值，
g(2^(n-1)-1)=1+2^(n-1)，g(2^(n-1)+1)=1-2^(n-1)
所以存在x2=2^(n-1)-1，x1=2^(n-1)+1，对任意x≠2^(n-1)，都有f(x1)<=f(x)<=f(x2)成立，且
幅度为：bn=g(2^(n-1)-1)-g(2^(n-1)+1)=2^n。
即bn=2^n，为以2为首相，2为公比的等比数列，所以Sn=2^(n+1)-2
(3)lg[2/b(n+1)]+lg[2/b(n+2)]+……+lg[2/(b2n)]
=[lg2-lgb(n+1)]+[lg2-lgb(n+2)]+...+[lg2-lgb(2n)]
=n*lg2-lg[b(n+1)*b(n+2)*...*b(n+n)]
由(2)已得bn=2^n，
所以b(n+1)*b(n+2)*...*b(n+n)=2^(n+1)*2^(n+2)*...*2^(n+n)
=2^[(n+1)+(n+2)+...+(n+n)]
=2^[n^2+(1+2+...+n)]
=2^[n^2+n*(n+1)/2]=2^[(3n^2+n)/2]，
所以lg[b(n+1)*b(n+2)*...*b(n+n)]=[(3n^2+n)/2]*lg2，
所以lg[2/b(n+1)]+lg[2/b(n+2)]+……+lg[2/(b2n)]=n*lg2-[(3n^2+n)/2]*lg2
=[n*(1-3n)/2]*lg2
而n^2lg(1/2)=-(n^2)* lg2
从而：[n*(1-3n)/2]*lg2-(n^2)* lg2=[(n-5*n^2)/2]*lg2<0
即：lg[2/b(n+1)]+lg[2/b(n+2)]+……+lg[2/(b2n)]<n^2lg(1/2)。

Answer 2

1,f(x)值域为[0,2],是幅度函数,幅度为2-0=2
2,对x(y-1)-2^(n-1)*y+2^n=0化简得:y=1-1/[(x/2^(n-1)-1]
讨论若n=1,y=1-1/(x-1)非幅度函数,不合题意
n不=1,由y单调性及x必取整数知,
bn=|f[2^(n-1)+1]-f[2^(n-1)-1]|,化简的:bn=2^n所以Sn=2^(n+1)-2
3,只需比较2/b(n+1)*2/b(n+2)*...2/b(2n)与(1/2)^(n^2)的大小即可,
2/b(n+1)*2/b(n+2)*...2/b(2n)
=2/[2^(n+1)-1]*2/[2^(n+2)-1]*2/[2^(n+3)-1]*...2/[2^(2n)-1]
>2/[2^(n+1)]*2/[2^(n+2)]*2/[2^(n+3)]*...2/[2^(2n)]
=(1/2)^n*(1/2)^(n+1)*(1/2)^(n+2)...(1/2)^(2n-1)
=(1/2)^[(3n-1)*n/2]
>(1/2)^^[2n*n/2]
=(1/2)^(n^2)
所以lg[2/b(n+1)]+lg[2/b(n+2)]+……+lg[2/(b2n)]>n^2lg(1/2)