(1)求微分方程(dy)/(dx)=y/(x+y^4)的通解.
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方法一：利用全微分方程求解
解：显然，y=0是原方程的一个特解
当y≠0时，ydx=(x+y^4)dy
(1/y)dx-(x/y^2+y^2)dy=0
因为∂(1/y)/∂y=∂(-x/y^2-y^2)/∂x=-1/y^2
所以这是全微分方程
d[x/y-(1/3)*y^3]=0
x/y-(1/3)*y^3=C
3x-y^4=Cy
其中C是任意常数
综上所述，3x-y^4=Cy或y=0是原方程的通解
方法二：利用换元法求解
解：显然，y=0是原方程的一个特解
当y≠0时，dx/dy=(x+y^4)/y=x/y+y^3
令u=x/y，则x=uy，dx/dy=u+ydu/dy
u+ydu/dy=u+y^3
du/dy=y^2
u=(1/3)*y^3+C
x=uy=(1/3)*y^4+Cy，其中C是任意常数
综上所述，x=(1/3)*y^4+Cy或y=0是原方程的通解
解：显然，y=0是原方程的一个特解
当y≠0时，ydx=(x+y^4)dy
(1/y)dx-(x/y^2+y^2)dy=0
因为∂(1/y)/∂y=∂(-x/y^2-y^2)/∂x=-1/y^2
所以这是全微分方程
d[x/y-(1/3)*y^3]=0
x/y-(1/3)*y^3=C
3x-y^4=Cy
其中C是任意常数
综上所述，3x-y^4=Cy或y=0是原方程的通解
方法二：利用换元法求解
解：显然，y=0是原方程的一个特解
当y≠0时，dx/dy=(x+y^4)/y=x/y+y^3
令u=x/y，则x=uy，dx/dy=u+ydu/dy
u+ydu/dy=u+y^3
du/dy=y^2
u=(1/3)*y^3+C
x=uy=(1/3)*y^4+Cy，其中C是任意常数
综上所述，x=(1/3)*y^4+Cy或y=0是原方程的通解
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2024-10-13 广告
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