如图,在△ABC中,AD⊥BC,且AD²=BD×CD,求证:∠BAC=90°.
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证明：
方法一：相似
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90
∴∠B+∠BAD＝90
∵AD²=BD×CD
∴AD/BD＝CD/AD
∴△ABD∽△CAD
∴∠CAD＝∠B
∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°
方法二：勾股定理
∵AD⊥BC
∴AB²＝BD²+AD²，AC²＝CD²+AD²
∴AB²+AC²＝BD²+CD²+2AD²
∵AD²=BD×CD
∴AB²+AC²＝BD²+CD²+2 BD×CD＝（BD+CD）²＝BC²
∴∠BAC＝90°
方法一：相似
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90
∴∠B+∠BAD＝90
∵AD²=BD×CD
∴AD/BD＝CD/AD
∴△ABD∽△CAD
∴∠CAD＝∠B
∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°
方法二：勾股定理
∵AD⊥BC
∴AB²＝BD²+AD²，AC²＝CD²+AD²
∴AB²+AC²＝BD²+CD²+2AD²
∵AD²=BD×CD
∴AB²+AC²＝BD²+CD²+2 BD×CD＝（BD+CD）²＝BC²
∴∠BAC＝90°
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设:∠BAD为A，∠DAC为B,AD=O,BD=m,DC=n, 则:cot∠BAC=cot（∠A+∠B）=1/tan（∠A+∠B）=
(1-mn/o²)/(m/o+n/o)=0,由于是三角形，所以:∠BAC=90°。
(1-mn/o²)/(m/o+n/o)=0,由于是三角形，所以:∠BAC=90°。
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