Question

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A^kα=0有解向量，且A^(k-1)α≠0

请问：
为什么A^(k+1)α=0，A^(k+2)α=0.....A^(k+n)α=0
为什么A^(k-2)α≠0，A^(k-3)α≠0......A^(k-n)α≠0

Answer 1

A^(k+1)α= A(A^kα) = A0 = 0
其余类似 A^(k+i) = A^i A^kα = A^i0 = 0.

若 A^(k-i)α=0, i>=2
则 A^(k-1)α = A^(i-1) A^(k-i)α = A^(i-1) 0 = 0.
与已知矛盾

追问

这样理解错在哪里？
A^(k-2)α=(A^-2)A^kα=(A^-2)0=0
还有A^(k+1)α=(A^2)A^(k-1)α≠0
我觉得A^kα=0与A^(k-1)α≠0同时存在就是矛盾的。
求老师解答啊。

追答

--A^(k-2)α=(A^-2)A^kα=(A^-2)0=0
A^-2 无意义

--还有A^(k+1)α=(A^2)A^(k-1)≠0
A^(k-1)α≠0 不能保证 A^2A^(k-1)α≠0
矩阵的乘法是有零因子的
即 AB=0, 但A≠0, B≠0

--我觉得A^kα=0与A^(k-1)α≠0同时存在就是矛盾的
不矛盾
A=
0 1
0 0

A[0,1]^T ≠ 0
A^2[0,1]^T = 0.