Question

如图,△ABC中,∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于I,求证:点I在∠BAC的角平分线

上

过I分别作AB、BC、AC的垂线IE、ID、IF

后面怎么写 快点

Answer 1

根据角分线上上的点到角两边的距离相等，可知ID=IE且ID=IF。
因此IE=IF
再根据到角两边距离相等的点，在角的平分线上。可知I点 在角BAC的平分线上

Answer 2

证明：过I分别作AB、BC、AC的垂线IE、ID、IF
∵ BI 是 ∠B 的角平分线
∴ ∠IBD=∠IBE
又∵ ID⊥BC IE⊥AB
∴ ∠IDB=∠IEB=90°
在△IDB和△IEB中：
∠IBD=∠IBE
∠IDB=∠IEB
IB为公共边
∴ △IDB≡△IEB
∴ID=IE
同理可证：ID=IF
∴IF=IE
在连接AI，在RT△AEI和RT△AFI中
IF=IE
AI为公共边
∴RT△AEI≡RT△AFI （HL)
∴∠EAI=∠FAI,即AI是∠BAC的平分线，也就是点I在∠BAC的角平分线上。
这种方法是很麻烦的，最简单的方法就是利用：角平分线上的点到角两边的距离相等这个性质，很简单就可以证明IE=IF ,也同样用这种性质可以证明点I在∠BAC的角平分线上。就不用证明三角形全等了。

Answer 3

因为是角平分线，又共一条边，还各有一个直角，所以角B和角C对应的两个相邻三角形全等
ID=IF=IE，再看角A对应的两个直角三角形，有两条边相等，第三条边也一定相等，所以两个三角形全等，AI是角A的平分线

追问

可以不用全等好嘛

追答

那可以用什么？

追问

角的平分线性质

追答

角的平分线性质说的不就是ID=IF，ID=IE吗？这样IE=IF，再利用此性质就直接证明了

追问

写完整好嘛 加上理由