Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2an/（anSn-Sn^2）=1(n大于等于2）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2an/（anSn-Sn^2）=1(n大于等于2）
（1）证明数列{1/Sn}成等差数列，并求Sn
(2)求数列{an}的通项公式

Answer 1

(1)解：由题意知：2an/[anSn-(Sn)²]=1（n>1）
则：(Sn)²-anSn+2an=0（n>1）
又因为：an=Sn-S(n-1)（n>1）
所以：(Sn)²-[Sn-S(n-1)]Sn+2[Sn-S(n-1)]=0
展开化简：S(n-1)Sn+2Sn-2S(n-1)=0
两边同除以S(n-1)Sn，得：1+2/S(n-1)-2/Sn=0
即：(1/Sn)-[1/S(n-1)]=1/2（n>1）
所以：数列{1/Sn}是以1/S2为首项，公差为1/2的等差数列

当n=2时，(S2)²-a2S2+2a2=0
即：(a1+a2)²-a2(a1+a2)+2a2=0且a1=1
(1+a2)²-a2(1+a2)+2a2=0

化简得：a2=-1/3
所以：S2=a1+a2=1+(-1/3)=2/3

因此：1/Sn=1/S2+(n-2)*(1/2)=3/2+(n-2)*(1/2)=(n+1)/2（n>1）
则：Sn=2/(n+1)（n>1）
当n=1时，S1=2/(1+1)=1=a1

所以：Sn=2/(n+1)

(2)解：因为：2an/[anSn-(Sn)²]=1（n>1）
则：an=(Sn)²/(Sn-2)=[2/(n+1)]²/{[2/(n+1)]-2}=-2/[n*(n+1)]（n>1）
当n=1时，a1=1不满足上式

所以：
an=a1（n=1）
an=-2/[n*(n+1)]（n>1）

Answer 2

将an=Sn-Sn-1代入已知条件 整理即可得到证明 从而求出Sn与an