Question

假设随机变量X和Y相互独立,服从标准正态分布,求随机变量Z=X/Y的概率密度。求详细过程

Answer 1

联合密度函数f(x,y)=f(x)*f(y)=(1/2π)e^[-(x^2+y^2)/2]
画图可知（X为纵坐标，Y为横坐标）
是的Z<z的区域是Y=0和X=Yz所夹的区域
所以FZ(z)=P{Z<=z}
=∫∫(D(z))f(x,y)dxdy
做极坐标变换
y=rcosθ，x=rsinθ
则0<r<+∞，(π/2)<θ<(π/2)+arctanz或(3π/2)<θ<3π/2 +arctanz
FZ(z)=(∫(π/2,π/2+arctanz)+∫(3π/2,3π/2 +arctanz))dθ ∫(0,+∞) r * (1/2π) * e^(-r^2/2)dr
=(π+2arctanz) * ∫(0,+∞) (1/2π)e^(-r^2/2)d(r^2/2)
=(1/2) + (1/π)arctanz
所以fZ(z) = (1/π)/(1+z^2)

Answer 2

会做写不出来啊，函数方程根本没法编辑。