Question

一道高一数学题。。。。。重点是第三问，前两问我已解决

设函数f(x)=|x-1|/x
（1）当1≤x≤2时，求f(x)的值域；
（2）当0＜a＜b，且f(a)=f(b)时，求1/a+1/b的值；
（3）是否存在正实数a,b(a＜b),使函数f(x)的定义域为[a,b]时的值域是[2a-1,2b-1]？若存在，求出2a+b的最小值；若不存在请说明理由。

Answer 1

3、
x≦1时，f(x)=1/x-1；递减的
x>1时，f(x)=1-1/x；递增的
分类讨论：
（1）0<a<b≦1时，f(x)在[a,b]上递减，所以，f(a)=1/a-1=2b-1，f(b)=1/b-1=2a-1
在(0,1)内显然有解
得：ab=1/2
则：2a+b≧2√2ab=2
当且仅当2a=b时，等号成立，则可得：a=1/2，b=1
存在满足题意的实数a,b，2a+b的最小值为2；
（2）0<a≦1<b时，f(x)在[a,1]上递减，在[1,b]上递增，
则最小值为f(1)=2a-1=0，得：a=1/2
则f(a)=1，
即f(x)在区间[1/2,b]（b>1）上的值域为[0,2b-1]
最大值为f(1/2)和f(b)中较大的那个
f(1/2)=1，f(b)=1-1/b，显然f(1/2)>f(b)
所以，f(1/2)=1=2b-1，得：b=1 舍去
（3）0<1<a<b时，f(x)在[a,b]上的解析式是f(x)=1-1/x，是递增的
所以，f(a)=2a-1，f(b)=2b-1
则可把a，b看做是方程f(x)=2x-1的两个根
即：1-1/x=2x-1
2x²-2x+1=0
无解，舍去
综上，存在满足题意的实数a,b，0<a<b≦1，
当a=1/2，b=1时，2a+b有最小值为2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O