在一个圆中,弧AB=弧BC=弧CD,OB,OC分别交AC,BD于M,N.求证:三角形OMN是等腰三角形
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解：因为弧AB=弧BC，所以B是弧AC的中点。所以OB⊥AC于M。同理OC⊥BD于N，所以OC⊥BD于N。由于弧AC=弧BD，所以AC=BD，所以OM=ON.(弦相等弦心距相等）。所以△OMN是等腰三角形。
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∵⌒AB=⌒BC=⌒CD
∴⌒AC=⌒BD
∴AB=BC=CD，AC=AD
∴∠A=∠D，∠ABC=∠BCD
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠ABC-∠OBC=∠BCD-∠OCB
即∠ABO=∠DCO
∴ΔABM≌ΔDCN
∴OM=ON
∴ΔOMN是等腰三角形
∴⌒AC=⌒BD
∴AB=BC=CD，AC=AD
∴∠A=∠D，∠ABC=∠BCD
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠ABC-∠OBC=∠BCD-∠OCB
即∠ABO=∠DCO
∴ΔABM≌ΔDCN
∴OM=ON
∴ΔOMN是等腰三角形
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用等弧对等角可证ac=bd再用勾股定理即可
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