Question

设A,B是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且AB=A-B证明A+E可逆，证明AB=BA 速度求解

Answer 1

证明：
①设C=A+E则A=C-E将其带入原等式得：
(C-E)B=C-E-B整理得：C(E-B)=E
故C=A+E可逆且其逆为E-B

②证明AB=BA即证明(C-E)B=B(C-E)即证明BC=CB即证明C^(-1)B=BC^(-1)(*)
由于由①，C^(-1)=E-B，故（*）式等价于(E-B)B=B(E-B)等价于B-B^2=B-B^2
显然成立，故AB=BA

我不晓得我的答案哪里不好，以致于它没被采纳，没被推荐，孤零零的立在这里，但我知道按我的方法做题更有套路更有思路，我也曾经用这里的满意回答解题，后来发现那种解题方法根本不适用于做大规模的计算和比较复杂的证明，不符合数值分析的宗旨……敬请广大网友慎重模仿

Answer 2

AB+B=A
(A+E)B=A+E-E
(A+E)-(A+E)B=E
(A+E)(E-B)=E
所以A+E是可逆矩阵
(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)=E
A-AB+E-B=A+E-BA-B
AB=BA