Question

设f(z)=z(e^(1/z)-1)则f(z)在z=∞处的留数为多少，需要详细步骤？

Answer 1

要计算函数 f(z) = z(e^(1/z) - 1) 在 z = ∞ 处的留数，可以按照以下步骤进行：

• 首先，将函数 f(z) 展开成幂级数。

将 e^(1/z) 展开成泰勒级数，得到：
e^(1/z) = 1 + (1/z) + (1/2!z^2) + (1/3!z^3) + ...

将其代入函数 f(z)，得到：
f(z) = z(1 + (1/z) + (1/2!z^2) + (1/3!z^3) + ...) - z

化简得：
f(z) = 1 + (1/z) + (1/2!z^2) + (1/3!z^3) + ... - z

• 接下来，我们要确定 z = ∞ 处的主要部分，即最高次幂项。

我们注意到在 z = ∞ 处，幂级数中的每一项都包含 z 的负幂次项，除了常数项 1。因此，在 z = ∞ 处，f(z) 的主要部分只有常数项 1。

• 最后，我们可以得出结论：函数 f(z) 在 z = ∞ 处的留数为 1。

综上所述，函数 f(z) 在 z = ∞ 处的留数为 1。