Question

当|x-1|+|x|+|x-2|最小时，X的取值范围是多少？最小值是多少？

Answer 1

显然，x∈R。
先分区间求一般表达式，以后再分析。
各绝对值项的根为0,1,2，
x≤0：原式=1-x+（-x）+2-x=3-3x,单减，x=0时最小，最小值3，x趋近于-∞时，值趋近于+∞；
0≤x≤1:1-x+x+2-x=3-x，单减，x=1时最小，最小值2；x=0时最大，最大值3；
1≤x≤2：x-1+x+2-x=1+x，单增，x=1时最小，最小值2；x=2时最大，最大值3；
x≥2：x-1+x+x-2=3x-3，单增，x=2时最小，最小值3；x趋近于+∞时，值趋近于+∞。
综上所述，表达式的最小值为2，此时x=1.
从另一个角度看，表达式表示数轴上一个点x到0,1,2三点的距离之和，当x位于这三个点的重心x=1时，这个和最小。

Answer 2

1. 当 x∈[2, +∞) 时，则有：

   y = (x - 1) + x + (x - 2)

   = 3x - 3 

   因为 x ≥ 2，则此时 y = 3x - 3 ≥ 3 * 2 - 3 ≥ 3

2. 当 x∈[1, 2) 时，则有：

   y = (x - 1) + x + (2 - x)

   = x + 1

   因为 1 ≤ x < 2，则此时：

   1+1 = 2 ≤ y = x + 1 < 2+1 = 3

   即： 2 ≤ y < 3

3. 当 x ∈[0, 1) 时，则有：

   y = (1 - x) + x + (2 - x)

   = 3 - x

   因为 0 ≤ x < 1，即 -1 < -x ≤ 0，则此时有：

   3+(-1) < y = 3 - x ≤ 3 + 0

   即：2 < y ≤ 3

4. 当 x ∈(-∞, 0) 时，则有：

   y = (1 - x) + (-x) + (2 - x)

   = 3 - 3x

   因为 x < 0，即 -x > 0，则此时有：

   y = 3 - 3x = 3 + 3 * (-x) > 3

综上所述，可以得到 y 的最小值是 2