Question

概率统计问题

Answer 1

我们知道，对于独立的随机变量，它们的协方差为0。因此，我们只需要考虑那些在 \(Y_1\) 和 \(Y_n\) 中都出现的项，即 \(X_2, X_3, \cdots, X_{n-1}\)。对于这些项，我们有 \(E[X_iX_j] = E[X_i]E[X_j] = \mu^2\) 对于 \(i \neq j\)，而 \(E[X_i^2] = \sigma^2 + \mu^2\)。

因此，我们可以计算 \(E[Y_1Y_n]\) 为：

$$
E[Y_1Y_n] = (n-2)\mu^2 + \sigma^2
$$

然后我们可以使用协方差的定义来计算 \(Cov(Y_1, Y_n)\)：

$$
Cov(Y_1, Y_n) = E[Y_1Y_n] - E[Y_1]E[Y_n]
$$

将 \(E[Y_1] = E[Y_n] = (n-1)\mu\) 代入，我们得到：

$$
Cov(Y_1, Y_n) = (n-2)\mu^2 + \sigma^2 - (n-1)\mu^2
$$

简化后，我们得到：

$$
Cov(Y_1, Y_n) = \sigma^2 - \mu^2
$$

这就是 \(Y_1\) 和 \(Y_n\) 的协方差。