Question

已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若x,y属于【-1,1】,x+y不等0,x+y分之f(x)+f(y) 大于0

1。证明f(x)在【-1,1】上是增函数。
1·解不等式f(x+0.5)小于f(1-x）
2·若f(x）小于等于t的平方-2at+1对所有x属于【-1，1】且a属于【-1，1】恒成立，求实数t的范围

Answer 1

1、
[f(x)+f(y)]/(x+y)>0
则：[f(x)+f(-y)]/(x-y)>0 ①
因为f(x)是奇函数，所以：f(-y)=-f(y)
①式化为：[f(x)-f(y)]/(x-y)>0
不妨令-1≦x<y≦1，则：x-y<0，那么显然有：f(x)<f(y)
所以，f(x)在【-1,1】上是增函数。

2、
f(x)是定义在【-1,1】上递增的函数
所以：
-1≦x+0.5≦1，得：-1.5≦x≦0.5；
-1≦1-x≦1，得：0≦x≦2；
x+0.5<1-x，得：x<0.25
综上，不等式的解为：0≦x<0.25

3、
f(x)≦t²-2at+1对所有x属于【-1，1】且a属于【-1，1】恒成立
因为f(x)是【-1,1】上的增函数
所以，f(x)在【-1,1】上的最大值为f(1)=1
申通：1≦t²-2at+1对a属于【-1,1】恒成立
即：2at-t²≦0对a属于【-1,1】恒成立
这是关于a的一次函数，只要区间端点满足即可
所以：
-2t-t²≦0，得：t≦-2或t≧0；
2t-t²≦0，得：t≦0或t≧2；
求交集得：t≦-2或t≧2或t=0
综上，t的取值范围是：t≦-2或t≧2或t=0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

第三问 不太懂
求解答

追答

f(x)≦t²-2at+1对所有x属于【-1，1】恒成立
则t²-2at+1≧f(x)在【-1,1】上的最大值
而f(x)在【-1,1】上是递增的，所以，f(1)最大
题目已知f(1)=1
所以：t²-2at+1≧1
即：t²-2at≧0
即：2at-t²≦0对a属于【-1,1】恒成立
这是关于a的一次函数，要在区间【-1,1】上小于等于0
因为一次函数是单调的，所以，只要区间端点满足小于等于0即可
把a=-1代入，得：
-2t-t²≦0，得：t≦-2或t≧0；
把a=1代入，得：
2t-t²≦0，得：t≦0或t≧2；
求交集得：t≦-2或t≧2或t=0

综上，t的取值范围是：t≦-2或t≧2或t=0

Answer 2

证明：
（1）令-1≤x1<x2≤1，那么x2-x1>0
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)

那么[f(x2)+f(-x1)]/(x2-x1)>0
那么f(x2)>f(x1)
所以f(x1)在[-1,1]上是增函数

（2）
解不等式f(x+0.5)<f(1-x）

那么等价于：

-1≤x+0.5≤1
-1≤1-x≤1
x+0.5＜1-x
解方程祖有：
0≤x＜0.25

（3）
要使.f（x）小于等于t2-2at+1 对所有x€【-1，1】，a€【-1，1】恒成立
只需f(x)的最大值f(1)=1≤t²-2at+1

t²-2at≥0
t(t-2a)≥0
(1) -1≤a<0时，t≤2a或t≥0，此时的一切a 都成立，要t≤-2或t≥0
(2) a=0时，t∈R
(3)1>=a>0时，t≤0或t≥2a，此时的一切a 都成立，要t≤0或t≥2

综上t的范围是:t≥2或t≤-2

追问

第三问 t(t-2a)≥0 之后的 没有明白
请解答一下

Answer 3

1，令 -1<x<y<1,
则有 x-y<0,（f(y）-f(x)）/(y-x)>0,
所以f(y）-f(x)>0,所以是增函数；
2，因为函数f(x)是增函数，由f(x+0.5)小于f(1-x）得
x+0.5<1-x 所以x<1/4
3，由增函数的性质，在[-1，1］上最大值为f(1)=1。所以tˆ2-2at+1≥1 且a属于[-1，1］
所以tˆ2-2at≥0

自己结合a属于[-1，1］求出t的范围

Answer 4

1、设x>y,则x-y>0,f(x)-f(y)/(x-y)>0,所以f(x)-f(y)>0,所以是增函数；
1·由增函数的性质，不等式可转化为f(x+0.5)小于f(1-x）
x+0.5小于1-x
2x小于1-0.5
x小于0.25
2·由增函数的性质，在【-1，1】上最大值为f(1)=1。所以（t的平方-2at+1）在a属于【-1，1】上大于等于1。
t(t-2a)>=0
显然t=0是其中一个解
当t>0时t>=2a，又a属于[-1,1]，所以t>=2
当t<0时t<=2a，又a属于[-1,1]，所以t<=-2

追问

求第一问详解。

追答

设x>y,则x-y>0,f(x)-f(y)/(x-y)>0,所以f(x)-f(y)>0,所以是增函数；
已经详解了，符合定义啊