Question

设曲线y=4-x^2与直线y=2x+1相交于A,B两点，又C为曲线弧AB上任意一点，求△ABC面积的最大值。

Answer 1

解联立y=4-x^2与直线y=2x+1的方程
解得A(1,3)B(-3,-5)
即AB=√（-3-1）²+（-5-3）²=4√5
C到AB的距离的最大值
即为直线y=2x+m相切时，
C到AB的距离的最大值且C是切点
用导函数来做设切点为C（a，b），切线的斜率为2
依题意得y′=｛4-x^2｝′=-2x
即y′=-2*a=2
即a=-1，b=4-a^2=4-（-1）^2=3
即C（-1，3）
C到AB的距离d=/3-2*(-1)-1//)√2²+1²=4/√5
△ABC面积的最大值=1/2*4√5*4/√5=8

追问

最后两步是个啥？d=什么？写清点，不然教不了作业。

追答

点到直线的距离公式呀，你不知道呀。C到AB的距离d=/3-2*(-1)-1//)√2²+1²=4/√5
△ABC面积的最大值是三角形的面积公式。

Answer 2

曲线y=4-x^2与直线y=2x+1相交于A,B两点
则A,B两点的坐标是（1,3）和（-3，-5）
AB=4根号5
C为曲线弧AB上任意一点，要使△ABC面积的最大值则点C到AB的距离最大，则C为与AB平行的直线与曲线相切的切点
设这条切线的方程是y=2x+b
代入曲线方程得x^2+2x+b-4=0.由根的判别式=0得b=5
这条切线的方程是y=2x+5,
和曲线的切点C的坐标是（-1,3）
点C到AB 的距离是(4/5)根号5
△ABC面积的最大值是8

Answer 3

先求交点
4-x²=2x+1
x²+2x-3=0
(x+3)(x-1)=0
x=-3,x=1
y=-5,y=3
得A(-3,-5),B(1,3)
|AB|=√[(-3-1)²+(-5-3)²]=4√5
动点P(x,y)到直线y=2x+1的距离D= |2x-y+1|/√(2^2+(-1)^2) =|2x-y+1|/√5
△ABC面积 S=1/2 * 4√5 *|2x-y+1|/√5=2|2x-y+1|=2|2x-(4-x²)+1|
x=-1时S最大为8

Answer 4

解：解方程组得，x=-3,y=-5或者x=1, y=3.不妨设A(-3，-5) B(1，3)
设C（x, 4-x²) (-3<=x<=1)
有三点坐标求三角形面积公式得
s=1/2|-5x-9+4-x²-3x+12-3x²+5|=2|x²+2x-3|=2|(x+1)²-4|
∵（x+1)²-4在-3<=x<=1时，-4<=（x+1)²-4<=0
∴s的最大值=2|-4|=8

附：知道三点坐标求三角形的面积公式

S=（1/2)*(下面行列式）
|x1 y1 1|
|x2 y2 1|
|x3 y3 1|
S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1)
即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为:
S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)

Answer 5

错了