Question

已知f是在x=0的某个领域内有界的连续函数,且f(x)+1/2f(x/2)=x^2,求f(x)的表

Answer 1

根据给定条件，我们有：
f(x) + 1/2 * f(x/2) = x^2
我们可以进行一些代换和化简来求解 f(x) 的表达式。
令 t = x/2，我们可以将方程改写为：
f(2t) + 1/2 * f(t) = (2t)^2 = 4t^2
对于这个新的方程，我们可以观察到 f(2t) 和 f(t) 两个函数之间的关系。
对于 t = 0，我们有 f(0) + 1/2 * f(0) = 0^2 = 0。
令 g(t) = f(t) + 1/2 * f(2t)，我们可以得到 g(t) 满足以下关系：
g(t) = 4t^2
现在，我们有一个新的方程来求解 g(t)。
根据题目所给条件，f(x) 在 x = 0 的某个领域内有界且连续。因此，我们可以推断 g(t) 在 t = 0 的某个领域内有界且连续。
现在，我们来求解 g(t) = 4t^2。由于 4t^2 是一个已知的函数，我们可以得出结论，g(t) 也是一个有界且连续的函数。
根据两个有界且连续的函数的性质，我们可以得出结论，g(t) 的表达式可以通过插值法来确定。
综上所述，根据给定条件，f(x) 的表达式无法直接确定，但我们可以推断出 f(x) 是一个连续且在给定领域内有界的函数。我们可以使用插值法来获得 f(x) 的近似表达式。