Question

数学难题，急急急

等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图11）求证：AM=AN；

（2）设BP=x.

①若BM=3/8，求x的值；

②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式；

③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）.当x为何值时，∠BAD=15°？此

时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理

由。

Answer 1

是等边三角形吧
看三角形ABP,
由余弦定理有，
AP^2=AB^2+BP^2-2cosB*AB*BP=AB^2+BP^2-AB*BP
同理，看三角形ACP有，
AP^2=AC^2+CP^2-2cosC*AC*CP=AC^2+CP^2-AC*CP
两式相加得
2AP^2=2AB^2+BP^2+CP^2-AB*(BP+CP)=2AB^2+BP^2+CP^2-AB*BC=AB^2+BP^2+CP^2
=AB^2+(BP+CP)^2-2*BP*CP=AB^2+(BC)^2-2*BP*CP=2*AB^2-2*BP*CP
所以AP^2=AB^2-BP*CP
所以BP*CP=AB^2-AP^2

补充另一个做法，用勾股定理
作AD垂直于BC，垂足为D，
因为ABC为等边三角形，
所以BD=CD
AB^2-AP^2
=AD^2+BD^2-AD^2-DP^2
=BD^2-DP^2
=(BD+DP)(BD-DP)
=(BD+DP)(CD-DP)
=BP*CP

Answer 2

(1）因为△APD、△APE和△ABC是等边三角形，AP＝AD，角ADP=角APE＝60度，角DAP＝角PAE＝角BAC＝60度，角DAM＝角DAP-角MAP＝60度-角MAP＝角BAC-角MAP＝角
PAN，由全等三角形定义（两角夹一边），可知△ADM和△APN全等，则AM＝AN

Answer 3

靠自己吧，考试可没得问！