Question

关于双曲线的题

1.已知焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别是4和8,直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20√2，求此双曲线的标准方程。

2.设双曲线E与椭圆x^2/27+y^2/36=1有相同的焦点，且与该椭圆的一个交点的纵坐标是4，求这一双曲线的方程。

求过程！谢谢！！

Answer 1

1.焦点在X轴上时为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 点P到双曲线两个焦点的距离分别是4和8则 2a=4，a=2
弦长公式：d = √[(x1 - x2）^2+ (y1 - y2）^2 ] = √（1+k^2）|x1-x2| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2)=20√2 k=1则|x1-x2|=20
又直线y=x-2 过双曲线顶点（2，0）则另一点坐标是（22，20）或（-18，-20）
将上述两点分别带入方程求出b即可
2.椭圆x^2/27+y^2/36=1有相同的焦点(0,3），(0,-3)双曲线E y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 　a^2 + b^2 = 9与该椭圆的一个交点的纵坐标是4 则 x^2=15 16/a^2 - 15/b^2 = 1
解方程得到a^2 =4（舍a^2 =36） b^2 =7

Answer 2

定义PF1-PF2=8-4=4=2a 所以a=2 然后知道直线过(2,0)点 由几何关系知道曲线过（22，20）点带入得x^2/4-109y^2/400=1 结果经几何画板验证正确......

Answer 3

我没学椭圆，谢谢