Question

向量ab满足a+b=(-2,-1) a-b=(4,-3)则<a,b>=？

Answer 1

这么简单的题，直接用公式吧。

a=[(a+b)+(a-b)]/2=(1，-2) ，b=[(a+b)-(a-b)]/2=(-3，1) ，
所以 a*b=1*(-3)+(-2)*1= -5 ，|a|=√(1+4)=√5 ，|b|=√(9+1)=√10 ，
由于 cos<a，b>=a*b/(|a|*|b|)= -5/(√5*√10)= -√2/2 ，
所以 <a，b>=3π/4 。（也就是 135°）

Answer 2

（a+b）+（a-b）=（2，-4）
2a=（2，-4）
a=（1，-2）
则 b=（-3，1）
在坐标系中画出两向量，易得出 |向量OB| =根号10，|向量OA| =根号5
然后将 向量OA 绕O点顺时针旋转90°得到向量OA’（注意是A撇，不是A），
很明显<a，b> = 角BOA‘+90°，也能求出 |向量A’B| = 根号5，
在△A'OB中，（OA'）² +（A'B）² = （OB）² ，且A'B=OA'=根号5
所以△A'OB是等腰直角三角形，所以角A'OB=45°，
所以<a，b>=135°

顺便说句，将向量OA绕O顺时针旋转90°之后，容易看出得到的A'坐标是（-2，-1）

追问

好麻烦，可以简单点说说吗？这有没有什么公式 的啊？

追答

也可以求出a，b之后，以O为始点作向量-b得 向量OB'。但之后也要连接B'A，用勾股定理逆定理，证△OB'A是等腰直角三角形，感觉和上面那个方法没有太大区别。暂时想不出更好的方法了，不好意思。
用这个方法的话，最后=180° - 角B'OA = 135°