Question

证明函数f(x)=x-1/x,x属于(-无穷,0)是增函数

Answer 1

设x1<x2<0
则x1-x2<0，x1x2>0
f(x1)-f(x2)=(x1-1)/x1-(x2-1)/x2
=1-1/x1-1+1/x2
=(x1-x2)/(x1x2)<0
即f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)=x-1/x,x∈(-∞,0)是增函数

另一证法
f(x)=(x-1)/x=1-1/x
∵g(x)=-1/x在(-∞,0)上是增函数
∴f(x)=(x-1)/x在(-∞,0)上是增函数

Answer 2

证明函数f(x)=x-1/x,x属于(-无穷,0)是增函数
证明：f'(x)=1+1/x^2>0
所以，(-无穷,0)上f(x)是增函数

Answer 3

取x1 x2 都属于 (-无穷,0) 令x1<x2 则x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=x1-1/x1-(x2-1/x2)
=x1-x2+(1/x2-1/x1)
=x1-x2 + (x1-x2/x1x2)
因为x1-x2<0 x1 x2 都属于(-无穷,0) 则x1x2 >0 得出 x1-x2/x1x2 <0
所以f(x1)-f(x2)= x1-x2 + (x1-x2/x1x2)<0
f(x1)<f(x2)
最终得出：x属于(-无穷,0)时，f(x)=x-1/x是增函数