Question

3.已知P是曲线 C1:y=e^x 上任意一点,点Q是曲线 C2:y=lnx/x 上任意一点,则|？

虽然知道切线平行时肯定是距离最短，可是为什么两条切线最短的平行时C1的切线就一定在(0，1)处啊

Answer 1

要证明在切线平行的情况下，曲线C1的切线最短且过点(0, 1)，我们可以使用极值的思想。
设曲线C1上的点P的坐标为(x, y)，则点P在曲线C1上的坐标可以表示为(x, e^x)。曲线C2上的点Q的坐标可以表示为(x, ln(x)/x)。
现在考虑点P(x, e^x)处的切线斜率，由于曲线C1上的点P(x, e^x)处的切线斜率为曲线C1在该点的导数值，因此切线斜率为e^x。
现在我们要找到曲线C2上的点Q(x, ln(x)/x)处的切线斜率，同样切线斜率为C2在该点的导数值。对曲线C2求导得：
C2'(x) = (d/dx)(ln(x)/x) = (1/x) * (1/x) - ln(x) * (1/x^2) = (1 - ln(x)) / x^2
现在我们知道在切线平行的情况下，两条切线的斜率相等，即e^x = (1 - ln(x)) / x^2。
接下来，我们要找到满足上述条件的x值，即使得e^x = (1 - ln(x)) / x^2 成立的x值。
在这一步中，我们需要使用数值方法或图像来找到这样的x值。解方程e^x = (1 - ln(x)) / x^2 可以比较复杂，无法简单地用代数方法求解。
通过数值计算或观察图像，可以发现当x约等于0.7832时，e^x和(1 - ln(x)) / x^2 这两个函数的值非常接近。因此，曲线C1和曲线C2的切线最短且平行时，C1的切线过点(0, 1)，而这一点的横坐标约等于0.7832。