Question

f(x)=x√1-|x|是奇函数还是偶函数？

Answer 1

我们可以通过函数的定义来判断它是奇函数还是偶函数。
一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意 x，有 f(-x) = -f(x)。
一个函数 f(x) 是偶函数，当且仅当对于任意 x，有 f(-x) = f(x)。
现在来判断 f(x) = x√(1-|x|) 是奇函数还是偶函数：
首先，我们可以观察到根号下面的表达式 1-|x| 是一个非负数，因为绝对值函数 |x| 的取值范围始终大于等于零。所以 x√(1-|x|) 在定义域内总是有意义的。
考虑奇偶性，我们有：
f(-x) = (-x)√(1-|-x|) = -x√(1-|x|) = -f(x)
由此可见，f(x) = x√(1-|x|) 满足 f(-x) = -f(x)，即对于任意 x，都有 f(-x) = -f(x) 成立。
因此，根据定义，f(x) = x√(1-|x|) 是一个奇函数。

Answer 2

这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
一个奇函数满足 f(-x) = -f(x)，即关于原点对称；
一个偶函数满足 f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
对于这个函数，我们可以分情况讨论：
当 x > 0 时，f(x) = x√(1-x)，不满足 f(-x) = -f(x)，因此不是奇函数；
当 x < 0 时，f(x) = x√(1+x)，也不满足 f(-x) = f(x)，因此不是偶函数。
所以，这个函数既不是奇函数也不是偶函数。