Question

如图所示，OA>OC,OB>OD，AB⊥BD。求证:BC+AD>AB+CD.

Answer 1

证明：

在OA上取OC′=OC, 在OB上取OD′=OD，
连接C′D′，AD′，BC′，设BC′, AD′交于E
∵OC′=OC, OD′=OD, AB⊥BD
∴△COD≌△C′OD′ (SAS)
∴CD=C′D′
又OD′=OD, AB⊥BD, AO=AO
∴△AOD≌△AOD′
同理△COB≌△C′OB (SAS)
∴AD=AD′, BC=BC′
在△C′D′E中，C′E+D′E＞C′D′ (三角形两边之和大于第三边)
在△ABE中，AE+BE＞AB (三角形两边之和大于第三边)
以上两式相加得
AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′
即AD′+BC′＞AB+C'D'
∴AD+BC＞AB+CD
证毕

Answer 2

∵AC⊥BD
∴△AOB、△BOC、△COD、△AOD均为直角三角形
∵OA>OC OB>OD
直角三角形斜边长度大于直角边长度
∴AB>BC>CD，AB>AD>CD
∴2AB>BC+AD>2CD
∴AD+BC>AB+CD

Answer 3

证明：用勾股定理将AB、BC、CD、DA用OA、OB、OC、OD一一表示出来
（BC+AD）²--（AB+CD）²
最后会得到（OA²--OC²）（OB²--OD²）＞0
即可证明