Question

数学一次函数

Answer 1

一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

【读音】yī cì hán shù

　　【解释】函数的基本概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=ax(a为常数项，叫做定量)，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

　　定义了函数的概念，接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。

　　表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0），这时的常数k也叫比例系数。

　　y关于自变量x的一次函数有如下关系：

　　1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数）

　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

　　x为自变量，y为因变量，k为常数，y是x的一次函数。

　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点。

　　定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义；二要与实际相符合。

　　常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。
1．在正比例函数时，x与y的商一定。在反比例函数时，x与y的积一定。

　　在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大 km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。

　　2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

　　3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

　　4．在两个一次函数表达式中：

　　当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

　　当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

　　当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

　　当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；

　　当两个一次函数表达式中的k互为负倒数是，则这两个一次函数图像互相垂直。

　　5．两个一次函数（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，

　　该函数的对称轴为－（k2b1+k1b2)/(2k1k2)；

　　当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上；

　　当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。

　　二次函数与y轴交点为（0，b2b1)。

　　6．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比性函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。
作法　　（1）列表；取满足一次函数表达式的两个点的坐标。

　　（2）描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

　　一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。

　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。

　　（3）连线。一次函数的图象是一条直线，因此，作一次函数的图象只需知道两个点，并作出直线即可。（通常取函数图象与x轴、y轴的两交点（0，b）和（-b/k，0））。
性质　　（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。

　　k，b决定函数图像的位置：

　　y=kx时，y与x成正比例：

　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

　　y=kx+b时：

　　当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

　　当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

　　当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

　　当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

　　当b>0时，直线必通过第一、二象限；

　　当b<0时，直线必通过第三、四象限。

　　特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。

　　这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；

　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。
一次函数的解析式　　①点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）；

　　②两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点），

　　③截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。

　　解析式表达的局限性：

　　①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）；

　　②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）；

　　④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

　　x轴的正半轴逆时针旋转到直线所成的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为(0, π)。
一次函数和方程　　1、从形式上看：一次函数y=kx+b, 一元一次方程ax+b=0 。

　　2、从内容上看：一次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x

　　的值，最多只有1个值 。

　　3、相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如：y=4x+8与x轴的交点是

　　(-2，0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。
解不等式的方法　　从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

　　从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

　　对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。

　　当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- bk，不等式kx+b<0的解为：x<- bk；

　　当k<0的解为：不等式kx+b<0的解为：x<- bk，不等式kx+b<0的解为：x>- bk。
与二元一次方程的关系　　1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数

　　y=-a/bx+c/b的图像相同.

　　(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1,

　　a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数

　　y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点.

　　方法小结:

　　把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解.

Answer 2

什么问题啊？

Answer 3

看不到问题啊？