Question

证明，函数在某一连续可导区间内存在的唯一极值点即为最值点

Answer 1

反证
设函数f(x)在区间[a,b]连续可导，有唯一极值点c，但其不是最值点
不妨设c点为极大值点但不是最大值点，设最大值点为d
若d>c ,考察区间[c,d]，f(x)在区间[c,d]连续可导,所以f(x)在[c,d]中有最小值e
显然e不等于d，又因c是[a,b]上的极大值点，存在c的某个邻域内函数值均小于f(c)
所以c也不是[c,d]区间的最小值点，所以存在e∈(c,d)为[c,d]中最小值
所以e也是[a,b]区间的极小值点，与c是唯一极值点矛盾。
若d<c,类似可证
若c是极小值点，考察g(x)=-f(x)即可