Question

一个极限问题！！！

已知Lim f(x)/x^2=0
x->0
为什么可以推断出f'(x)=0,f''(x)=0.
有一种解释是这样的：由罗比达法则，上下求导得Lim f'(x)/2x=0,所以f'(x)=0.
x->0
但是这种解释有个问题，原函数的极限存在且为零，但这并不意味着罗比达法则后的函数的极限一定存在，总所周知，罗比达法则只能证明一个函数的极限存在，并不能证明一个函数的极限不存在，所以原函数运用罗比达法则之后并不能保证所得函数的极限仍为零，也就无法推出f'(x)=0的结论.
求高手解释这个问题，不胜感激！
f(x)在x=0点二阶可导
求大神指导！

Answer 1

已知Lim f(x)/x^2=0
x->0
为什么可以推断出f'(x)=0,f''(x)=0.
这个问题的前提应该加上f(x)在x=0点二阶可导。否则，没这个结论。

这里关键要知道导数的定义
f'(0) 的定义是x--->0 时 分式的极限 分子为f(x)-f(0) 分母为x-0
而已知x--->0 时 f(x)/x^2---->0 注意这是个分式 分母为x----->0 而分式收敛于0 说明分子---->0
（在分母-->0时，只有0/0型才可能收敛，其余的分子形式在分母-->0的情况下不会收敛）
于是有x-->0 时 f(x)---->0
f(x)在x=0点二阶可导
于是f(x)在x=0 连续 即f(0)=0=limf(x) [x-->0]
且在x=0 的某邻域内 f '(x)存在，连续，且在x=0可导即f ''（0)存在 ，
这时候对已知的极限利用罗比达法则 知道
0= Lim f(x)/x^2=limf '(x)/2x 同理 得到 x-->0 时 f ‘(x)-->0 而f '(x)存在且连续 于是f '(0)=limf'(x)=0
(x--->0) (x--->0) (x-->0)
而鉴于 f(x)在x=0点二阶可导
limf '(x)/2x =0 就可得 f "(0)=lim[f '(x)--f '(0)]/[x-0]=lim f '(x)/x=0
(x--->0) (x---->0) (x---->0)

追问

你的这部：这时候对已知的极限利用罗比达法则 知道
0= Lim f(x)/x^2=limf '(x)/2x .
我在问题中已经强调 Lim f(x)/x^2不一定等于limf '(x)/2x .
不如我举个例子吧：Lim (x-sinx)/(x+sinx)
x-∞
这个函数的极限应该是存在并且很容易求的吧，但是你看用完罗比达法则后成的那个函数极限还存在吗？我想说的是用完罗比达法则后出现的那个函数的极限时不一定等于原函数极限的。

追答

我想说的是用完罗比达法则后出现的那个函数的极限时不一定等于原函数极限的。
【你的理解是错误的】
正确的结论是 如果利用罗比达法则可以求出极限值为A（包括无穷大），则原来的函数的极限为A
如果利用罗比达法则无法求出极限，则不能说明原来的函数不收敛。这也是你这个例子的意思。

追问

没错，这就是我的意思，所以原题中原函数的极限为0，不能保证原函数罗比达法则之后的式子的极限存在，所以有可能是不收敛的。

追答

这个题目应该这样理解：

• 鉴于f(x)一阶可导，所以适用于罗比达法则，可以使用，

• 尽管在用之前不知道是否有收敛的结果。但是依然可以用

• 用了一次之后出现了f'(x)/2x 这样的结果 分母依然趋于0 在已知原来极限存在的前提下，可以假设分子也趋于0 （否则罗比达法则失效）而这样的假设才有了上面的结果。

• 若罗比达法则失效，即f‘(x) 不是无穷小， 那么结果就应该放弃罗比达。

• 不使用罗比达。由题目知道f"(0)存在 且f(x)=o(x^2) ==> f(x)--->f(0)=0  (x-->0)

             于是f'(0)=lim f(x)/x =limo(x^2)/x=0(x-->0) 

              而f(x)在0点二阶可导 说明f'(x)--->f'(0)(x-->0)  即即f‘(x) 是无穷小，（这也是罗比达并未失效的理由，也即前面的假设可行的道理）

         而   f"(0)=limf'(x)/x (x-->0)说明limf'(x)/x收敛 而这里有f'(x)出现，因此才考虑罗比达。上面的计算就顺理成章了。

           

Answer 2

确实 limf(x)-->0不代表limf'(x)--->0 不然0/0型求导就没尽头了
我也觉得这种解释有问题 个人认为要么是我水平低 要么这种解释就是错的
我觉得吧 由已知可以知道limf(x)-->0；当x-->0时 limf(x)=f(0) 且f(x)至少是x的3阶无穷小 =>f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/x}=0
我只想出来一阶的 二阶待补充
应该对吧....

Answer 3

可否考虑把f(x)展开成幂级数考虑呢，抱歉，我的能力只能提供思路而已。