Question

关于不等式的证明

Answer 1

大学的还是高中的？
大学的话，就用微分中值定理：
原不等式<=>1/a<(lna-lnb)/(a-b)<1/b
设f(x)=lnx,则f(x)在[b,a]连续，在(b,a)可导
故存在ζ∈(b,a)使得(lna-lnb)/(a-b)=1/ζ
由ζ∈(b,a)得，1/a<1/ζ<1/b，即1/a<(lna-lnb)/(a-b)<1/b

高中的话，用这种：
设a/b=x，则x>1
原不等式<=>1-1/x<lnx<x-1

先证lnx<x-1
设g(x)=x-1-lnx，x>=1
则x>1时，g'(x)=1-1/x>0
从而知，当x>1时，g(x)>g(1)=0，即lnx<x-1

再证1-1/x<lnx
设h(x)=lnx-1+1/x，x>=1
则x>1时，h'(x)=1/x-1/x^2=1/x(1-1/x)>0
从而知，当x>1时，h(x)>g(1)=0，即1-1/x<lnx

从而可知原不等式成立。