Question

已知定义在R上的函数y=f(x)的图像是一条不间断的曲线,f(a)≠f(b),其中a<b,设F(x)

已知定义在R上的函数y=f(x)的图像是一条不间断的曲线,f(a)≠f(b),其中a<b,设F(x)=f(x)-[f(a)+f(b)]/2，求证：函数F（x）在（a，b）上有零点

Answer 1

F(x)=f(x)-[f(a)+f(b)]/2
∵f(x)在(a,b)上连续，∴F(x)在(a,b)上连续
又f(a)≠f(b)，∴f(a)-f(b)≠0
F(a)=f(a)-[f(a)+f(b)]/2=[f(a)-f(b)]/2
F(b)=f(b)-[f(a)+f(b)]/2=[f(b)-f(a)]/2
F(a)*F(b)=[f(a)-f(b)]/2*[f(b)-f(a)]/2
=-[f(a)-f(b)]^2/4<0
即F(a)*F(b)<0，即端点两函数值异号
又函数F(x)在(a,b)上连续，
由中值定理知，函数F(x)在(a,b)上必有零点

Answer 2

代入得F(a)=[f(a)-f(b)]/2
F(b)=[f(b)-f(a)]/2
所以F(a)和F(b)互为相反数
又因为f(a)≠f(b),
所以F(a)和F(b)都不为0
故一个为正一个为负
所以函数F（x）在（a，b）上有零点