Question

【数学】函数f(x),g(x),与h(x)=f(x)/g(x)之间的关系问题

【数学】命题：“若两个函数f(x),g(x),设h(x)=f(x)/g(x)，在x=a的时候g(a)=f(a),在x大于a的时候g(x),f(x)恒为增函数，且f(x)的导数值恒大于g(x)的导数值，则h(x)为增函数”是否正确？求证明。
改为“h(x)在a到正无穷上为增函数。”这个命题是错的

Answer 1

正确

因为是x>a时增函数，所以f (x)>f(a) g(x)>g(a)
又因为g(x),f(x)恒为增函数，且f(x)的导数值恒大于g(x)的导数值
所以f '(x)>g '(x)>0, 所以f (x)g '(x)>f(a) g '(x) ,g(x)f '(x)>g(a)f '(x)
所以g(x)f '(x)-f (x)g '(x)>g(a)f '(x)-f(a) g '(x),因为g(a）=f(a)
所以g(a)f '(x)-f(a) g '(x)=g(a)[f '(x)- g '(x)]》0
所以g(x)f '(x)-f (x)g '(x)>0,然后你可以考察h（x）的导数在a到正无穷上就恒大于零了，则h(x)恒为增函数

Answer 2

h'(x)=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/(g(x))^2只要考察分子的正负就行。
设t(x)=f'(x)g(x)-g'(x)f(x)则t'(x)=f''(x)-g''(x)
对于连续函数t(a)有定义。则t(a)=(f'(a)-g'(a))f(a)(或者g(a))
我们只有f(x)的导数值恒大于g(x)的导数值不能确定t'(x)=f''(x)-g''(x)的正负，所以不能判断。

Answer 3

h(X)'=(f'g-g'f)/gx^2 ,,(f'g-g'f）不一定恒大于零，如果在某一点X0 f(x0)/g(x0)大于f(x)‘/g(x)’时h(x)为减函数。例如（10/1大于15/2）

Answer 4

正确