Question

求解，谢谢！

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|2λ+1 -λ λ+1|
| λ-2 λ-1 λ-2|
|2λ-1 λ-1 2λ-1|
第 3 列 -1 倍 加到 第 1 列，|A| =
|λ -λ λ+1|
|0 λ-1 λ-2|
|0 λ-1 2λ-1|
第 2 行 -1 倍 加到 第 3 行，|A| =
|λ -λ λ+1|
|0 λ-1 λ-2|
|0 0 λ+1|
|A| = λ(1+λ)(1-λ).
当 λ ≠ 0 且 λ ≠ ±1 时，|A| ≠ 0，方程组 Ax = b 有唯一解。
当 λ = 0 时，(A, b) =
[ 1 0 1 -1]
[-2 -1 -2 0]
[-1 -1 -1 0]
初等行变换为
[ 1 0 1 -1]
[ 0 -1 0 -2]
[ 0 -1 0 -1]
初等行变换为
[ 1 0 1 -1]
[ 0 1 0 2]
[ 0 0 0 1]
r(A,b) = 3, r(A) = 2, 方程组无解。

当 λ = 1 时，(A, b) =
[ 3 -1 2 0]
[-1 0 -1 1]
[ 1 0 1 1]
初等行变换为
[ 1 0 1 1]
[ 0 -1 -1 -3]
[ 0 0 0 1]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 方程组无解。
当 λ = -1 时，(A, b) =

[-1 1 0 -2]
[-3 -2 -3 -1]
[-3 -2 -3 -1]

初等行变换为
[ 1 -1 0 2]
[ 0 -5 -3 5]
[ 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 方程组有无穷多解。
此时方程组同解变形为
x1 = 2 + x2
-3x3 = 5+5x2
取 x2 = -1, 得特解 (1, -1, 0)^T;
导出组是
x1 = x2
-3x3 = 5x2
取 x2 = 3, 得基础解系 (3, 3, -5)^T，
通解是 x = (1, -1, 0)^T+k(3, 3, -5)^T。

追问

谢谢啦