Question

关于高中万有引力天体运动的三个小问题

1、某行星和地球绕太阳公转的轨道视为圆。每过N年，行星会运行到日地连线的延长线上，行星与地球的公转半径比（行星绕日轨道半径比地球大）

这个题目我能想到用开普勒第三定律，可以得到R1/R2=T1/T2的2/3次方，但我不明白的是这个T应该如何表示。我大概理解，因为地球轨道半径小，所以转的速度快，周期就小，待到再次共线地球一定比行星多转1圈，所以T地为N-1，但我想的是地球不能在行星慢慢转的同时不只转一圈吗？多转2圈，3圈。。。。不都有可能吗？为什么只是多转了1圈呢？
2、比如说中心天体是太阳，向外依次有一个地球和一个飞行器，已知飞行器与地球同步绕日公转，也就是相当于同步卫星了吧。那么比较此飞行器与地球的线速度大小时，为什么不能用万有引力与向心力相等推导出的v=√GM/R来比较呢？这样地球半径小，中心天体又都是太阳，所以地球线速度不就大吗？但答案是用v=wR来判断，因为同步所以w相同，地球R小所以v小，后者肯定对，那么前者哪里错了呢？为什么矛盾了呢？
3、当运行轨道不能近似为圆周时，设为椭圆，那么在近日点速度大于远日点速度，这个是知道的，那若再比较近日点角速度与远日点角速度该如何比较呢？这里的半径怎么选取？以及近远日点的加速度都应如何比较呢？

谢谢各位大神了。小生不胜感激。~~~答得好会加赏的。
第2个问题我认为是不是由于飞行器既受地球的引力又受太阳的引力所以不能用引力公式了呢？那这意味着以后遇到3个天体的都不能用那个公式分析了吗？

还有第3个问题 在远日点的速度为什么小于第一宇宙速度7.9呢？

Answer 1

1. 由万有引力提供向心力得，R1/R2=T1/T2的2/3次方，当它们在一条直线上时，则地球和行星在N年内转过的弧度之差为2π,再由周期和弧度公式和地球的公转周期为1，就可求得行星的公转周期为N/（N-1），则行星和地球公转半径之比为N/（N-1）的2/3次。

2. 对，要分析是哪几个万有引力的合力提供向心力。

3. 近日点选短半轴，远日点选长半轴，近日点的角速度大于远日点的角速度。加速度都是由万有引力提供，所以不变。

Answer 2

1.T表示天体运动的周期。R1/R2=(T1/T2)的2/3次幂，是表明轨道半径和周期的关系。至于只是多转一圈是题设给定的，这里是根据人们习惯省了。
2.首先，飞行器和地球不在同一轨道上（R地＜R飞行器），但飞行器和地球同步，这表明飞行器受到了其他力作用，向心力不等于万有引力。
3.面积。单位时间里，行星走过的轨迹和中心天体围成的面积相等
半径啥的书上有，自己找。加速度肯定是近日点大。

Answer 3

1，如果是地球在此过程中比行星多转了2圈，你想，在多第一圈的一瞬间，地球、太阳、行星是不是共线了？题目说的是“每”过n年，也就是说一次地、日、行共线就是地球的n圈了。那么你说两次，就已经2n年了。
2，题目说以太阳为中心天体，飞行器和地球一起做“公转”运动。那么其实题目考察的就是，飞行器绕太阳运动的速度，和地球绕太阳的速度的大小关系，这时候飞行器绕地球的运动就已经可以忽略了，因为相对于绕日运动，绕地运动的半径实在太小，这时的飞行器的线速度和地球是相等的。
3那个问题虽然不是很复杂，但是太多公式，爪机无力，况且我也困了，明天我上来给你解答吧。你可以用开普勒第二定律先自己做一做。

追问

嗯，第一个问题理解了，第二个你怎么说是相等的呢？答案是地球v小，因为w相同，v=wr地球绕转半径小所以v小，但我想用万有引力推出公式而不是圆周运动公式来分析 也就是v=√GM/R，中心天体质量相同地球半径小v不就大了吗？这是哪里出错了？为什么不能按后者这样分析？

还有等待你的第三个问题。我看好你哦~~谢谢~~

Answer 4

由于我躺在床上没有纸笔计算，所以简单回答你第二个问题。题目所指仅是圆周运动模型，并不涉及行星的万有引力！如果真有两个不同轨道的物体绕着同一个中心天体运动，就已经违背了万有引力定律了，不是吗？这样地球同步卫星也就不都是那么一个轨道了。