Question

设函数f(x)在区间(a,b)内二阶可导，f(x)的二阶导数大于等于0，证明：任意x,x0属于(a,

b),有f(x)大于等于f(x0)+f(x0)的一阶导数乘以(x-x0)

Answer 1

利用泰勒中值定理

f(x)=f(x0) +f'(x0)(x-x0) +f''(t)(x-x0)²/2！ t∈（x,x0）
因为f(x)的二阶导数大于等于0，
所以f(x)大于等于f(x0)+f(x0)的一阶导数乘以(x-x0)

追问

可不可以不用泰勒公式，这个我们没有学。。。。

追答

设g(x)=f(x) -f(x0)-f'(x0)(x-x0)
则g'(x)=f'(x)-f'(x0)
g''(x)=f''(x)
g'(x0)=0,g''(x0)=f''(x0)>0
所以g(x)在x0取极小值
所以
g(x)>=g(x0)=0
即
f(x) -f(x0)》=f'(x0)(x-x0)