Question

关于线性代数的几点结论，如何理解与证明，谢谢大家。

Q P 可逆。
1. 若 B = PA, 则A,B 的行向量组等价
若 B = AQ, 则A,B 的列向量组等价
但若B=PAQ, 就没有相应的结论了

2. 若 B = PA, 则B的列向量组与A的对应的列向量组有相同的线性关系
即初等行变换不改变列向量组的线性关系

Answer 1

Q,P是可逆的，所以可以看做是进行了n次初等变换得到的。
例如Q=Q1Q2.....Qn，P=P1P2....Pn
那么B=PA是什么意思呢，对A做n次行变换，得到B，由于行变换不改变矩阵行的线性关系，所以A,B 的行向量组等价
B = AQ同理，对A做n次列变换得到的B，自然A,B 的列向量组等价

但若B=PAQ，说明A进行n次，行列混合变换得到B，那么我们只能得到，A,B是等价的。

但是矩阵等价不能推出向量组等价，所以他们的行，列，向量组都不一定等价的。
----------------------
初等变换是不改变秩的，你要抓住这一点来理解
因为初等变换要求的P,Q是可逆的。
而当B可逆时r(AB)=r(A)

Answer 2

1、最简单的理解是初等行变换不改变矩阵的行秩，可逆矩阵就是若干初等矩阵的乘积，因此PA就是对A做初等行变换，那么A,B行秩相等，即行等价
同理，初等列变换不改变列秩，所以B=AQ与A列等价
这里说明一个问题，初等矩阵即可以看成初等行变换，也可以看成初等列变换，两者形式上没有区别
若B=PAQ，则A和B等价，可以看成行等价并且列等价。
2、B=PA，将B和A按照行向量分块，则有
Bi=PAi
由于P可逆，所以线性方程组k1A1+k2A2+……KnAn=0与P(k1A1+k2A2+……KnAn)=k1B1+k2B2+……+knBn=0同解
换言之，初等行变换不改变列向量组的线性关系
同理可以有，初等列变换不改变行向量组的线性关系