Question

请问如何证明子集是子空间

1. {[x,y,z],R^3,x=0或者y=0}
2.{ [x,y,z],R^3,x^2-y^2=0}
3. {f:R->R,积分[-1,1] f(x)dx=0}
4.{f:R->R,f'(x)=1}
求过程，最好讲解一下，我不是很明白这种条件要怎么证明加法和乘法封闭,多谢

Answer 1

要证加法封闭，根据定义，只需在集合内任取两个元素验证它们的和是否还在集合中。
例如，你给的第二个态顷集合，任取两个元素(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，可知有x1^2 - y1^2 =0 和x2^2 - y2^2 =0。现在需验证(x1+x2,y1+y2,z1+z2)是否在此集合内。若其在，则需要满足(x1+x2)^2-(y1+y2)^2=0对所有(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)都成立，易看出这是不可能的，取(3,3,0)和(4,-4,0)验证即可。所以第二个集合对加法不是封闭的，所以其不构成子空间。
再以你给的第三个集合为例，取f1和f2为其两个不同元素，则易验证拦闭碧 积分[-1,1] (f1(x)+f2(x))dx=0，简举所以其对加法封闭。
对数乘封闭的验证类似，只需在定义的数域(一般是R)上取一数a，在集合区一元素f，然后验证af是否仍在集合中。例如第三个集合，任取a数域R，f数域该集合，易看出 积分[-1,1] af(x)dx=0，故其对数乘封闭。

追问

那一是子空间是吗

追答

一不是，取(0,1,1)和(1,0,1)可知对加法不封闭。

追问

所以4也不是咯？取F(X)=X的话，(f(x)+g(x))'不等於1

追答

你说的是对的。