Question

高等数学（1）证明方程sin z =(x^2)yz在点（0，0，0）附近能确定可微的隐函数z=f（x,y） (2)求偏导数

Answer 1

sinz = x² yz；  g(x,y,z)=sinz-x²yz=0；满足以下三条件：

1. g'(x)=2xyz，g'(y)=-x²z，g'(z)=cosz-x²y    在(x0，y0，z0)邻域内连续；本题：(x0y0z0)=(000)

2. g(x0，y0，z0)=0

3. g'(z)(x0，y0，z0)=1≠0

   则在(x0,y0,z0)的某一个邻域内有唯一的单值函数z=f(x,y)存在，且具如下性质：

   g[x,y,f(x,y)]=0, f(x0,y0)=z0

   f(x,y)连续

   f(x,y)有连续的偏导数：

   z 'x=-g 'x/g 'z；z 'y=-g 'y/g 'z

   这是多变量隐函数存在定理，证明比较复杂，可查有关书籍。

4. 下面求偏导数：

   z'x=-g'x/g'z=-2xyz/(cosz-x²y)    z'x(0,0,0)=0;

   z'y=-g'y/g'z=-x²z/(cosz-x²y)      z'y(0,0,0)=0.

Answer 2

设F(x,y,z)=sinz-(x^2)yz
(1)1.F(0,0,0)=0,
2.∂F/∂x=yz, ∂F/∂y=-(x^2)z ∂F/∂z=-(x^2)y连续
3.当x.y≠0时，∂F/∂z=-(x^2)y≠0
故由隐函数存在定理，在点（0，0，0）附近能确定可微的隐函数z=f（x,y）
（2）.∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-yz/(-(x^2)y)=z/(x^2)
∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=(x^2)z/(-(x^2)y)=-z/y

Answer 3

解：本题第一问根据全微分条件（详见参考资料）来证明，而该条件用到全微分，全微分式中包含偏导数式，因此我们先求第二问。
（2）原等式两端同时对x求偏导数得：
Z'x*cosZ=2xyZ+x^2*y*Z'x
移项整理得：Z'x=2xy*Z/(cosZ-x^2*y)①
原式两端同时对y求偏导数得：
Z'y*cosZ=x^2*Z+x^2*y*Z'y
移项整理得：Z'y=x^2*Z/(cosZ-x^2*y)②
（1）根据全微分条件，且dZ=Z'x△x+Z'y△y，
我们现在求(Z'x)'x和(Z'y)'y看二者在(0,0,0)是否相等，
若相等，则隐函数函数Z(x,y)在(0,0,0)可微。
对①求导得：(Z'x)'x=[(2yZ+2xyZ'x)(cosZ-x^2*y)+2xyZ(sinZ*Z'x+2xy)]/(cosZ-x^2*y)^2③
把①带入③并结合(x,y,Z)=(0,0,0)有：(Z'x)'x=0
对②求导得：(Z'y)'y=[x^2*Z'y(cosZ-x^2*y)+x^2*Z(sinZ*Z'y+x^2)]/(cosZ-x^2*y)^2④
把②带入④并结合(x,y,Z)=(0,0,0)有：(Z'y)'y=0
故：(Z'y)'y=(Z'x)'x满足全微分条件，故Z(x,y)在(0,0,0)可微。