Question

数学分析3题目

已知光滑曲线C：x=x(t),y=y(t),z=z(t)在点（x(t0),y(t0),z(t0)）处切线的方向数为（x‘(t0),y’(t0),z‘(t0)）求函数u=根号（x方+y方+z方）在点（2，2，1）处沿曲线L：x=2t,y=2（t方）z=t^4在该点切线方向的方向导数

Answer 1

先计算切线的方向余弦，即曲线L在（2,2,1）点的切线方向向量为(2,4,4)
然后方向余弦为(1/3, 2/3, 2/3)，即把方向向量单位化，除于它的模！
然后计算u对x,y,z的偏导数
∂u/∂x=x/√(x²+y²+z²)
∂u/∂y=y/√(x²+y²+z²)
∂u/∂z=z/√(x²+y²+z²)
偏导数在(2,2,1)点的值分别为 2/3, 2/3 , 1/3
最后利用方向导数的计算公式
∂u/∂L|(2,2,1)=∂u/∂x|(2,2,1) * cosa+ ∂u/∂y|(2,2,1) * cosb+ ∂u/∂z|(2,2,1) * cosc
=(2/3)*(1/3)+(2/3)*(2/3)+(1/3)*(2/3)
=8/9
其中(cosa,cosb,cosc)就是切线的方向余弦！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

曲线L在点(2,2,1)对应的t=1，因此切线方向为(2,4,4)。
单位化后为s=(2,4,4)/6=(1,2，2)/3。
函数f(x,y,z)沿方向s=(s1,s2,s3)的方向导数的计算公式为
af/ax*s1+af/ay*s2+af/az*s2。

于是u=根号(x^2+y^2+z^2)沿方向s的方向导数为
(au/ax*1+au/ay*2+au/az*2)/3
=(2x+2y*2+2z*2)/3|(x=2,y=2,z=1)
=16/3。