Question

怎么证明f(x)平方的定积分≥f(x)定积分的平方

Answer 1

直接用柯西不等式：（∫（a，b）f（x）g（x）dx）²≤∫（a，b）f²（x）dx×∫（a，b）g²（x）dx，令g（x）=1，就有∫（a，b）f（x）dx）²≤（b-a）∫（a，b）f²（x）dx。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

早期概念

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

Answer 2

直接用柯西不等式：（∫（a，b）f（x）g（x）dx）²≤∫（a，b）f²（x）dx×∫（a，b）g²（x）dx，令g（x）=1，就有∫（a，b）f（x）dx）²≤（b-a）∫（a，b）f²（x）dx

追问

能不用柯西么？。。〒_〒

追答

这是最简单的证法。如果不用柯西不等式，证明会比较复杂。

追问

可是我们木有讲过柯西。。。

追答

设k为任意实数，因为f（x）在区间[a，b]上可积，所以[f（x）+k]²在区间[a，b]上可积。由于[f（x）+k]²≥0，所以∫（a，b）[f（x）+k]²dx≥0，即∫（a，b）f²（x）dx+2k∫（a，b）f（x）dx+k²（b-a）≥0长度已到