Question

设f(x)在x=0处连续，且lim(x趋于0）f(x)/x^2=1 ,证明函数f(x)在x=0处可导且取得极小值。

要详细过程哟！！

Answer 1

1、f(0)＝lim f(x)＝lim f(x)/x^2 *lim x^2＝1*0＝0，
于是f'(0)＝lim [f(x)－f(0)]/x
=lim f(x)/x^2*x
＝lim f(x)/x^2 *lim x
=1*0＝0，
即f'(0)=0。
2、对e＝1/2，存在d>0，使得
0<|x|<d时，有|f(x)/x^2－1|<e=1/2，
即1/2<f(x)/x^2<3/2。
于是有f(x)>x^2/2>0＝f(0)，当0<|x|<d时，
因此x＝0是极小值点。