Question

变限积分求导问题 为啥上下限要互换？？

Answer 1

定积分是上下限，是被积函数自变量的范围。
以分子为例，原本的定积分被积函数自变量是t，下限是0，上限是x
令u=x-t，那么当t=0的时候，u=x；当t=x的时候，u=0
所以当原本下限是t=0的时候，在新的定积分中，就是对应u=x
在原本上限是t=x的时候，在新的定积分中，就是对应u=0

所以这并不是什么上下限对调，而是根据u=x-t这个关系式，计算出当t=0和t=x的时候，u对应的值作为新的上下限。而这个“对调”，只是因为u=x-t这个关系的特殊性而已。

追问

再问一下，后边为啥是(－du)啊

追答

原本的定积分是dt，现在u=x-t，则t=x-u，那么dt=d（x-u）=-du

Answer 2

变量换了 原来的t的定义域是(0 x) 即0<t<x

现在变量是u t=x-u 然后带入到定义域中得：x-0<u<x-x 所以u的定义域为 (x,0)

Answer 3

那不是交换积分上下限
x-t=u
t的积分区间t∈[0,x]
u的积分区间u∈[x,0]