Question

一道几何问题，不要用向量方法做。要快

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EF/EA
；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：
取AB中点M，连接EM、DM。
因△ABE为等腰直角三角形，故EM⊥AB
因AB=2CD=2BC，故四边形BCDM为正方形，故DM⊥AB
故AB⊥平面DEM
所以有AB⊥DE
（Ⅱ）解：因直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，且BC⊥交线AB，故
BC垂直平面ABE。而BE⊥AE，故直线EC与平面ABE所成角即为<BEC，其正弦值即
sin<BEC=BC/CE
设BC=CD=a，则AB=2a，EM=BM=1/2*AB=a，BE=√2a，CE=√(BE^2+BC^2)=√3a
故直线EC与平面ABE所成角的正弦值为sin<BEC=BC/CE=a/(√3a)=√3/3
（Ⅲ）存在。连接AC交BD于点N，过点N作NF∥CE且交AE于点F。则F即为所求。
根据平行线分线段成比例定理，有
EF/EA=CN/CA
而△ABN∽△CDN（对顶角相等，内错角相等）
故有CN/AN=AD/AB=1/2
EF/EA=CN/CA=CN/(CN+AN)=1/(1+2)=1/3
不明白请追问。

追问

AD/AB不会等于1/2吧

追答

哦，笔误。是CN/AN=CD/AB=1/2

Answer 2

（Ⅰ）
设AB 的中点为G ,连接DG,EG ，
设AB=2
因为AB=2CD=2BC
又因为 ABCD为直角梯形
所以BD=AD= √2 ,三角形ABD为直角等腰三角形
所以BA⊥DG
又因为ABE为等腰直角三角形
所以 AB⊥EG
所以AB⊥ 平面EDG
所以AB⊥DE

（Ⅱ）
因为直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直
所以BC⊥等腰直角三角形ABE所在的平面
所以正弦值为BC/EC
因为CB=1,BE=AB/√2=/√2
所以EC=√3
所以正弦值为√3/3

（Ⅲ）存在
连接AC 交BD于H,连接HF
因为EC//平面FBD
所以EC//HF
所以EF/EA = CF/CA
因为AC=√5
CF=√5/3
所以比值为1/3