Question

如图,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE

Answer 1

法1：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD=AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC全等，利用全等三角形的对应边相等可得证；
法2：过A作AH垂直于BC于H点，由AB=AC，利用三线合一得到H为BC中点，同理得到H为DE中点，利用等式的性质变换后可得证．

证明：法1：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角），
又∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE（等量代换），
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠CAB=AC∠BAD=∠CAE
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）；

法2：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），
同理可证，DH=EH，
∴BH-DH=CH-EH，
∴BD=CE．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用了等量代换的思想

Answer 2

证明： 1.由AD=AE，得出来 三角形ADE是等腰三角形， 角ADE=角AED
2. 由ABC是等腰三角形， AB=AC，得出来 角ABD=角ACE，
3. 角ADE为三角形ABD的外角， 角ADE=角ABD+角BAD， 同样 角AED=角ACE+角EAC，

得出来：角BAD= 角EAC，

4. 根据两边加一角得出来三角形ABD 与三角形ACE全等， 对应边相等，即：BD =CE

Answer 3

证明：
第一种方法：过点A作AH⊥BC于F
∵AB＝AC，AD＝AE，AH⊥BC
∴BH＝CH，DH＝EH （三线合一）
∵BD＝BH-DH，CE＝CH-EH
∴BD＝CE
第二种方法：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵AD＝AE
∴∠ADC＝∠AEB
∴△ABE≌△ACE （AAS）
∴BE＝CD
∵BD＝BE-DE，CE＝CD-DE
∴BD＝CE

Answer 4

∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵AD＝AE
∴∠ADC＝∠AEB
又因为∠ADC+∠ABD=180，∠AEB+∠AEC=180
所以∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）
易证得△ABD≌△AEC（A.A.S）
所以BD=CE