Question

高中数学 难题！！！

函数f(x)=x-alnx/x其中a为常数(1)证明:对任意a∈R函数y=f(x)过定点(2)当a=1时不等式f(x)+2b<=0在x∈(0,+∝)上有解，求实数b的取值范围(3)若对任意a∈[m,0)时，函数y=f(x)在定义域上恒单调递增，求m的最小值
求具体过程

Answer 1

(x)=x-alnx/x
(1) f(1)=1
∴过定点(1,1)
(2)当a=1时,f(x)=x-lnx/x
f(x)+2b≤0在x∈(0,+∝)上有解,
∴-2b≥f(x)在x∈(0,+∝)上有解,
∴-2b≥f(x)min
∵f＇(x)=1-(1-lnx)/x^2 =(x^2 -1+lnx)/x^2
令g(x)=x^2 -1+lnx 且g(1)=0
g/(x)=2x+1/x
当x＞0时，g/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
当x∈（0，1）时，f/(x) ＜0 ，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f/(x)＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．即为最小值，最小值是f(1)= 1
∴-2b≥1
∴b≤ -1/2
(3)若对任意a∈[m,0)时，函数y=f(x)在定义域上恒单调递增，
f＇(x)=1-(a-alnx)/x^2 =(x^2 -a+alnx)/x^2
令h（x）=x^2+alnx-a
由题设，对任意a∈[m,0)，有h（x）≥0成立，x∈（0，+∞），
又h＇(x)=2x+a/x =(2x^2+a)/x =2[x+√(-a/2)][x-√(-a/2)]/x
当x∈(0，√(-a/2 ))时，h/（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈(√(-a/2 ),+∞)时，h/（x）＞0，h（x）是增函数；
所以当x= √(-a/2 )时，h（x）有极小值，也是最小值h ( √(-a/2 ))
∴h ( √(-a/2 ))≥0成立
得(-a/2 )+aln√(-a/2 )-a≥0
∴aln√(-a/2 )≥3a/2 (a<0))
∴ln√(-a/2 )≤3/2
∴√(-a/2 )≤e^(3/2)
∴√(-a/2 )≤e^(3/2)
∴(-a/2 )≤e^3
∴(-a/2 )≤e^3
∴a≥ -2e^3
∴-2e^3≤a<0
对任意a∈[m,0)时，函数y=f(x)在定义域上恒单调递增
∴m的最小值为：-2e^3

Answer 2

1） 因为f(1)=1-a×ln1/1=1 所以对任意a都有f(1)=1，即f(x)过定点（1,1）
2）f(x)+2b<=0有解， 等价于b<= -f(x)/2有解
即b<= -f(x)/2 的最大值（因为如果b大于 -f(x)/2的最大值那不等式就无解了）
只要求出f(x)的最小值。
f(x)=x- lnx/x f'(x)=1-(1-lnx)/x=（x²-1+lnx)/x
令 f'(x)=0得x=1 所以f(x)最小值是f(1)=1
-f(x)/2 的最大值是-1/2
所以b<=-1/2
3)y=f(x)在定义域上恒单调递增，f'(x)=(x²-a+alnx)/x >=0 恒成立
设g(x)=x²-a+alnx 定义域（0，+∞）， 则g(x)>=0恒成立
g'(x)=2x+a/x=(2x²+a)/x
由 a∈[m,0)知 a<0 ，从而g‘（x)有零点x=√(-a/2)
所以g(X)有最小值g(√(-a/2))=-a/2-a+a ln(√(-a/2))>=0
即 -3/2 +ln(√(-a/2)) <=0
ln(-a/2)<= 3
解得 a>= -2 e^3
所以m的最小值是 -2 e^3

Answer 3

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Answer 4

这问题我做过吖，挺简单的，这儿说不清