Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

(Ⅰ)证明：BD⊥PC；
(Ⅱ)若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

(1): 因为 PA垂直于ABCD面，则BD垂直于PA，
又BD垂直于AC，且AC和PA相交于A，
则BD垂直于PAC面，
又PC在PAC面上，
所以BD垂直于PC；

(2)设AC和BD相交于E
则根据ABCD是等腰梯形，AC垂直于BD，
知BEC和AEC是两个等腰直角三角形；
因AD=4, BC=2，
根据勾股定理知BE=EC=根2，AE=ED=2*根2
梯形ABCD面积=三角ABC面积+三角ADC面积=AC*BE/2+AC*ED/2=AC*BD/2=0.5*（根2+2根2）^2
=9
因为 角DPE即直线PD与面PAC所成的角，角DPE=30度，
PE = ED * ctg30度 =2*根2*根3=2*根6
而三角PAE为直角三角形，根据勾股定理，
PA = （PE^2 - AE^2)^0.5 =4
则四棱锥P-ABCD体积 = 1/3 × PA × 梯形ABCD面积 = 1/3 × 4 × 9 = 12