Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直底面ABCD，E、F是PC、AB的中点，AP=AD 求证EF垂直平面PCD

Answer 1

证明：
先证明EF⊥PC，再证明EF⊥PD。
1) 连结PF，FC。
∵PA⊥面ABCD，ABCD是矩形
∴∠PAF=∠FBC=90°
∵F是AB中点，PA=AD
∴FA=FB，PA=BC
在△FAP和△FBC内根据勾股定理，知道FP = √(FA^2 + AP^2) = √(FB^2 + BC^2) = FC。
因此F在PC的垂直平分线上。
又因为E是PC中点
所以EF是PC的垂直平分线，EF⊥PC。

2) 取PD的中点G，连结EG，GA。
∵E和G分别是PC和PD的中点
∴EG是△PCD的中位线
∴EG//CD//AB，EG=CD/2=AB/2
∴EG与AF平行且相等，AFEG是平行四边形。
∴EF//AG。
然而△APD是等腰直角三角形，G为斜边中点
∴AG⊥PD。
∴EF⊥PD。

由于EF⊥PC，EF⊥PD，PC和PD同属于平面PCD且交于点P，所以EF⊥平面PCD。