Question

已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x^2+y^2+4y-21=0所截得的弦长为4√5求直线l方程

要思路

Answer 1

楼上用二次方程解题，运算量大，易出错。可以采用弦心距的方法。

圆方程配方得 x^2+(y+2)^2=25 ，因此圆心（0，-2），半径 r=5 ，
由于弦长为 L=4√5 ，因此由勾股定理得圆心到直线距离为 d=√[r^2-(L/2)^2]=√(25-20)=√5 ，
所以，若设直线方程为 A*(x+3)+B*(y+3)=0 （这样设的好处是避免直线无斜率时有遗漏），
则 |3A+B|/√(A^2+B^2)=√5 ，
去分母、两边平方得 9A^2+6AB+B^2=5A^2+5B^2 ，
化简得 2A^2+3AB-2B^2=0 ，
分解得 (A+2B)(2A-B)=0 ，
取 A=2 ，B= -1 或 A=1 ，B=2 ，可得直线方程为 2(x+3)-(y+3)=0 或 (x+3)+2(y+3)=0 ，
化简得 2x-y+3=0 或 x+2y+9=0 。

Answer 2

设直线的方程为y+3=K(x+3)
代入圆方程，解得交点坐标为

x1=-(√(2(8k²+3k+12))+k(3k-1))/(k²+1)
y1=-(k√(2(8k²+3k+12)+2k²-3k+3)/(k²+1)
x2=(√(2(8k²+3k+12))-k(3k-1))/(k²+1)
y2=(k√(2(8k²+3k+12)-2k²+3k-3)/(k²+1)

y2-y1=2k√(2(8k²+3k+12))/(k²+1)
x2-x1=2√(2(8k²+3k+12))/(k²+1)

(y2-y1)²+(x2-x1)²=(4√5)²

8(8k²+3k+12)/(k²+1)=80
化简得：8(3K+4)/(k²+1)-16=0
解此方程：k=-1/2,k=2

所以直线I的方程为：y+3=-1/2(x+3)
y+3=2(x+3)

化简为：x+2y+9=0
2x-y+3=0

(思路不难，就是计算量大，稍有马虎，就会差之千里）