Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE=DF；
（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB=2根号3，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．
∵AM=DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE=DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
证明：过点G作GH⊥AD于H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
(3)过程太难打了，给你思路好不好？
①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．
②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出 EM/MG=AM/GH,
从而得出tan ∠MEG=根号3就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论．

追问

第三问是等边三角形么？

追答

是的

追问

嘿嘿 看出来了 非原创

追答

= =,帮你找的过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H 第三问辅助线

追问

不过还是谢谢了

追答

都是帮你解决问题嘛

Answer 2

1. 矩形AB平行CF得∠BAD=∠MDF，对角得∠AME=∠FMD，M为中点得AM=MD

   证得两个△AME和△FMD全等

2. 令AE=x，CG=y，

   由于△EBG和△FCG为RT三角形，而MG为△EGF的垂直平分线，即EG=FG

   所以BE^2+BG^2=FC^2+CG^2

   （2+x）^2+y^2=(2-x)^2+(4-y)^2

   化简得x=2-y

   EB=AB-AE=2-x，即EB=CG即△BEG全等于△GFC，

   又因为△BEG为RT三角形所以∠EGF=180°-∠EGB-∠FGC=180°-90°=90°

3. 当C与G重合时有最小值AE=AM^2/DC=(2√3)/3,

   E是线段AB的动点即其最大值少于AB

   所以2√3)/3<AE<2√3

   △GEF为等边三角形

   令AE=x，CG=y，

   同2由于△EBG和△FCG为RT三角形，而MG为△EGF的垂直平分线，即EG=FG

   所以BE^2+BG^2=FC^2+CG^2

   （2√3+x）^2+y^2=(2√3-x)^2+(4+y)^2

   化简得y=√3x-2

   根据ME^2=AM^2+AE^2=4+x^2

   EG^2=16+4x^2=4ME^2

   即EG=2ME即∠MEG=60°