Question

求解，I=∫∫x[1+yf(x^2+y^2)]dxdy,D由y=x^3,y=1,x=-1围成,f为连续函数,求I 过程越详细越好 非常感谢

Answer 1

这个题你需要先自己画一下图，画好后在第二象限画曲线y=-x³，将区域分为两部分
上面这部分记为：D1
左边这部分记为：D2
D1关于y轴对称，D2关于x对称
将积分化为：
∫∫ x[1+yf(x²+y²)] dxdy
=∫∫ x dxdy + ∫∫ xyf(x²+y²)] dxdy
xyf(x²+y²)] 这个函数关于x和y均为奇函数，因此在D1和D2上的积分均为0
前一个积分在D1上的积分为0，因此只需要积前一个积分在D2上的积分

∫∫(D2) x dxdy
=∫[-1→0] dx∫[x³→-x³] x dy
=∫[-1→0] -2x⁴dx
=-(2/5)x⁵ |[-1→0]
=-2/5

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Answer 2

利用对称性处理那个未知函数