Question

f(x)={e∧1/-x²,x≠0 0，x=0 证明 f(x)在x=0处n阶可导

Answer 1

任给整数m>=0, 不难证明,

1. lim(x-->0)f(x)/x^m=0
2. 用归纳法，可以得到： 当 x≠0, f(x)的m次导数
f^(m)(x)= f(x)(a_m_0+a_m_1/x+a_m_2/x^2+...+a_m_k(m) / x^k(m)), 其中 a_m_i 为常数，i=0,1,...,k(m).

于是 用归纳法, 可以证明f^(n)(0)=0, 如下：
f^(n)(0)=lim(x-->0) (f^(n-1)(x) - f^(n-1)(0))/x
=lim(x-->0) (f(x)(a_(n-1)_0+a_(n-1)_1/x+a_(n-1)_2/x^2+...+a_(n-1)_k(n-1) / x^k(n-1)) - 0))/x

=a_(n-1)_0 lim(x-->0) f(x)/x + a_(n-1)_1 lim(x-->0) f(x)/ x^2 +...+a_(n-1)_k(n-1) lim(x-->0) f(x)/ x^(k(n-1)+1)
= 0 (根据上面的 1. lim(x-->0)f(x)/x^m=0 ）

所以 f(x)在x=0处n阶可导 且导数为0.

Answer 2

这个命题有些不足之处。
函数在x=0处无定义，各阶导数也无定义，哪来可导一说？因此，必须先做好以下工作：
定义x=0时：f(0)=f'(0)=f"(0)=……=0；
然后就可直接根据导数定义由低一阶导数推求更高一阶导数。其实不用推证了，已经全定义完了。