Question

高中数学题 在线等

已知：f（X）=4x+ax^2-2/3 x^2 ……（x属于实数）在区间（-1，1）上是增函数
（1） 求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f(x)=2x+1/3 x^3的两个非零实根为x1，x2, 试问：是否存在实数m，使不等式m^2+tm+1 >= |x1-x2| 对任意a属于A 以及 t属于 [-1,1]恒成立？ 若存在，求m的取值范围，不存在说明理由。

Answer 1

解：f(x)=4x+ax²-2x³/3, x∈[-1,1]上是增函数
f'(x)=4+2ax-2x²≥0在[-1,1]内恒成立
⑴导函数图像是开口向下的抛物线，要使f'(x)≥0在[-1,1]内恒成立 ，
只需要f'(1)≥0且f'(-1)≥0即可
解得-1≤a≤1
A=﹛a|-1≤a≤1﹜
⑵f(x)=4x+ax^2-2/3x^3=2x+1/3x^3
整理得：x^2-ax-2=0
x1+x2=a,x1x2=-2
|x1-x2|=√[﹙x1+x2﹚^2-4x1x2]=√﹙a^2+8﹚≤3
①m^2+tm+1≥|x1-x2|，-1≤t≤1
①式意味着﹙m^2+tm+1﹚的最小值不小于|x1-x2|的最大值3
所以m^2+tm-2≥0，Δ=t^2+8＞0,m1=[-t-√(t^2+8)]/2,m2=[-t＋√(t^2+8)]/2,m1<m2
令g﹙m﹚=m^2+tm-2,
g﹙m﹚的图像为开口向上的抛物线,与X轴有两个交点
所以要满足g﹙m﹚≥0,则m≤m1或m≥m2
m1的最小值为当t=1时,m1=-2
m2的最大值为当t=-1时,m2=2
所以m≤-2或m≥2时，m^2+tm+1≥|x1-x2|，-1≤t≤1恒成立

Answer 2

你明白增函数的定义吗？你知道函数的导数与函数是增函数有什么联系吗？如果知道，那就可以直接做第一问，转化为恒成立问题，然后用参数分离或根的分布解决。

Answer 3

f(x)的解析式有误